滑模面、趋近律设计过程详解(滑模控制)

目录

1. 确定系统的状态变量和目标2. 定义滑模面3. 选择滑模面的参数4. 设计控制律5. 验证滑模面设计6. 总结
设计滑模面（Sliding Surface）是滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）中的关键步骤。滑模控制是一种鲁棒控制方法，通过将系统状态驱动到滑模面上并沿着滑模面滑行，从而达到系统的控制目标。设计滑模面通常包括以下步骤：

1. 确定系统的状态变量和目标

首先，明确系统的状态变量 x x x 和控制目标。状态变量通常是系统的状态向量，而控制目标可能是状态变量的某个期望值或轨迹。

2. 定义滑模面

滑模面 s ( x ) s(x) s(x)是一个定义在状态空间中的超平面，使得系统在该超平面上具有期望的动态行为。滑模面可以定义为系统状态的某种函数等于零的集合：
s ( x ) = 0 s(x) = 0 s(x)=0

滑模面通常设计为系统状态误差的线性组合，例如：
s ( x ) = C T ( x − x d ) s(x) = C^T(x-x_d) s(x)=CT(x−xd​)

其中， C T C^T CT为设计矩阵， x d x_d xd​为期望状态。

3. 选择滑模面的参数

滑模面的参数（如矩阵 C C C) 的选择应保证系统状态能够被驱动到滑模面上，并沿着滑模面滑行。例如，在一阶系统中，滑模面通常设计为状态误差的比例，如 s ( x ) = x − x d s(x) = x-x_d s(x)=x−xd​。对于高阶系统，滑模面可以设计为包含误差及其导数项的多项式，如：

s ( x , x ˙ ) = x ˙ + λ ( x − x d ) = x ˙ + λ e s(x,\dot{x}) = \dot{x} + \lambda(x-x_d) = \dot{x} + \lambda e s(x,x˙)=x˙+λ(x−xd​)=x˙+λe

其中， λ \lambda λ为设计参数， e = x − x d e = x-x_d e=x−xd​ 为状态误差。

滑模面一般可以设计为如下的形式
s ( x ) = ∑ i = 1 n − 1 c i x i + x n s(x) = \sum_{i = 1}^{n-1}c_i x_i + x_n s(x)=i=1∑n−1​ci​xi​+xn​

设计条件：
p n − 1 + c n − 1 p n − 2 + . . . + c 2 p + c 1 p^{n-1} + c_{n-1} p^{n-2} +...+ c_2 p + c1 pn−1+cn−1​pn−2+...+c2​p+c1保证该多项式为Hurwit(该条件满足状态 x x x在 s = 0 s = 0 s=0的滑模面上收敛)，满足赫尔维茨稳定性，即上述多项式的特征值实部为负，即特征值点在s左半平面。

例如：以文章 滑模变结构控制仿真实例(s-function代码详解) 中的数学模型为例。即：
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 x ˙ 3 = x 1 + x 2 x 3 + u \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x}_1 = x_2 \\ \dot{x}_2 = x_3 \\ \dot{x}_3 = x_1 + x_2 x_3 + u \end{array} \right. \end{aligned} ⎩ ⎨ ⎧​x˙1​=x2​x˙2​=x3​x˙3​=x1​+x2​x3​+u​​

取n = 3， 即 s ( x ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + x 3 s(x) = c_1 x_1+c_2 x_2 + x_3 s(x)=c1​x1​+c2​x2​+x3​, 为满足Hurwitz条件，要求特征多项式 p 2 + c 2 p + c 1 = 0 p^2+c_2p+c1 = 0 p2+c2​p+c1=0的特征值实部为负，取 c 1 = 1 , c 2 = 2 c_1 = 1, c_2 = 2 c1​=1,c2​=2，得多项式为 p 2 + 2 p + 1 = 0 p^2+2p+1 = 0 p2+2p+1=0,解得两个特征根 − 1 , − 1 -1, -1 −1,−1 满足条件。

根据之前所说，控制器的目的是使状态变量 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1​,x2​,x3​收敛到0，我们令 s = 0 s = 0 s=0，即令 s ˙ \dot{s} s˙ = 控制律，进而求解控制器 u u u。

该模型中，取 s ˙ \dot{s} s˙ = 趋近律， 采用指数趋近律 s ˙ = − s g n ( s ) − s \dot{s} = -sgn(s)-s s˙=−sgn(s)−s （ s g n ( s ) sgn(s) sgn(s)为符号函数）求得控制器 u u u
u = − s g n ( s ) − s − x 1 − x 2 − 2 x 3 − x 2 x 3 \begin{align*} u = -sgn(s) - s -x_1 -x_2 -2x_3-x_2 x_3 \end{align*} u=−sgn(s)−s−x1​−x2​−2x3​−x2​x3​​

4. 设计控制律

传送门：符号函数与饱和函数的滑模设计案例(s-function函数仿真)控制律的设计目的是驱动系统状态到达滑模面并沿滑模面滑行。常见的滑模控制律形式为： 等速趋近律： s ˙ = − ε s g n ( s ) \dot{s} = -\varepsilon sgn(s) s˙=−εsgn(s)
ε > 0 , s g n ( s )   为符号函数， s > 0 时， s g n ( s ) = 1 ; s < 0 时， s g n ( s ) = − 1 , s = 0 时， s g n ( s ) = 0 \varepsilon >0, sgn(s)\,\text{为符号函数，}s>0时，sgn(s) = 1; s<0 时，sgn(s) =-1,s=0 时，sgn(s) = 0 ε>0,sgn(s)为符号函数，s>0时，sgn(s)=1;s<0时，sgn(s)=−1,s=0时，sgn(s)=0指数趋近律： s ˙ = − ε s g n ( s ) − k s \dot{s} = -\varepsilon sgn(s)-ks s˙=−εsgn(s)−ks，其中 ε > 0 , k > 0 \varepsilon > 0, k>0 ε>0,k>0幂次趋近律： s ˙ = − k ∣ s ∣ α s g n ( s ) − k s \dot{s} = -k|s|^{\alpha}sgn(s)-ks s˙=−k∣s∣αsgn(s)−ks, 其中， k > 0 , 0 < α < 1 k>0, 0<\alpha<1 k>0,0<α<1。
符号函数： s g n ( s ) = { 1 ， s > 0 0 , s = 0 − 1 , s < 0 \begin{aligned} 符号函数：sgn(s) = \left\{ \begin{array}{l} 1 ，&s>0\\ 0 , &s=0 \\ -1 , &s<0\\ \end{array} \right. \end{aligned} 符号函数：sgn(s)=⎩ ⎨ ⎧​1，0,−1,​s>0s=0s<0​​ 为了避免抖振现象，可以使用连续的近似符号函数，如饱和函数或正切函数。
饱和函数： s a t ( s ) = { 1 s > Δ k s ∣ s ∣ ≤ Δ ， k = 1 / Δ − 1 s < − Δ 饱和函数：sat(s)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & s > \Delta \\ ks & |s| \leq \Delta， k = 1/\Delta\\ -1 & s < -\Delta \end{array} \right. 饱和函数：sat(s)=⎩ ⎨ ⎧​1ks−1​s>Δ∣s∣≤Δ，k=1/Δs<−Δ​

5. 验证滑模面设计

最后，通过仿真或实际实验验证所设计的滑模面和控制律的有效性。需要确保系统状态能快速到达并保持在滑模面上，且系统的动态性能满足设计要求。

6. 总结

滑模面的设计是一个系统化的过程，涉及到系统模型的分析、滑模面函数的定义和参数选择、控制律的设计以及验证和调整。通过合理设计滑模面，可以实现对系统的有效控制，尤其在不确定性和扰动较大的情况下表现出优越的鲁棒性。

(如有不当之处，还望指正)