编程的核心是算法，而算法的核心是数学——单从这一点上讲，编程与数学可谓关系密切。编程所需要的很多能力和数学是相通的，比如逻辑思维、抽象能力等。编程可以帮助程序员更好地理解数学，将复杂的数学可视化，也可以作为解决数学问题的工具，更能强化数学能力。本文作为一个系列的开篇之作，尝试站在程序员的角度，用程序员的方式去理解数学王国的经典概念。
如果有人问2的算术平方根是多少，相信所有的程序员都会张口说出1.414这个答案。不过，要是精度要求更高一点，大多数的程序员就只能依赖计算器了。比如，Python程序员会这样写：
>>> pow(2, 1/2)
1.4142135623730951
或者，像下面这样写，也没有问题：
>>> 2**(1/2)
1.4142135623730951
但是，如果想要通过计算的方式（不是指在草纸上手工开方），得到高精度的结果，作为程序员应该如何写代码呢？这里，以计算2的算术平方根为例，介绍科学巨人牛顿的逼近法。
牛顿逼近法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，虽然证明起来有点麻烦，但原理很简单，实用性很强。假设有方程：
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f(x)=0
首先，选择一个接近函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)零点的
x
0
x_0
x0，计算对应的
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0)和切线斜率
f
′
(
x
0
)
f^{'}(x_0)
f′(x0)（这里
f
′
f^{'}
f′表示函数
f
f
f的
的导函数）；然后计算函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
(x_0,f(x_0))
(x0,f(x0))的切线（斜率为
f
′
(
x
0
)
f^{'}(x_0)
f′(x0)）和
x
x
x轴的交点的
x
x
x坐标，也就是求如下方程的解：
(
x
−
x
0
)
f
′
(
x
0
)
+
f
(
x
0
)
=
0
(x-x_0)f^{'}(x_0) + f(x_0) = 0
(x−x0)f′(x0)+f(x0)=0
x
=
x
0
−
f
(
x
0
)
f
′
(
x
0
)
x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)}
x=x0−f′(x0)f(x0)
将新求得的点的
x
x
x坐标命名为
x
1
x_1
x1，通常
x
1
x_1
x1会比
x
0
x_0
x0更接近方程
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f(x)=0的解。因此可以利用
x
1
x_1
x1开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：
x
n
=
x
n
−
1
−
f
(
x
n
−
1
)
f
′
(
x
n
−
1
)
x_n = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f^{'}(x_{n-1})}
xn=xn−1−f′(xn−1)f(xn−1)
经过 n n n次迭代，当 f ( x n ) f(x_n) f(xn)的绝对值满足精度要求时，即可认为 x n x_n xn就是方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0的近似解。
理解了牛顿迭代法，就不难写出计算2的算术平方根的代码。
def f(x):
# 定义函数f(x)
return x**2 - 2
def df(x):
# 定义函数f(x)的导函数
return 2*x
def newton_raphson_method():
# 牛顿-拉弗森方法
tiny = 1e-15 # 当f(x_n)小于tiny时，迭代结束
i, x = 0, 2 # 迭代计数器和初始值
while True:
i += 1 # 迭代计数器加1
x = x-f(x)/df(x) # 计算下一个x
if abs(f(x)) < tiny: # 满足迭代结束条件
print('\n经过%d次迭代，2的算术平方根为%.030f'%(i, x))
break
if __name__ == '__main__':
newton_raphson_method()
运行结果如下：
经过5次迭代，2的算术平方根为1.414213562373095145474621858739
请按任意键继续. . .
这个结果和使用pow函数计算出来的结果，小数部分的前30位完全一致。
>>> '%.030f'%pow(2,1/2)
'1.414213562373095145474621858739'
最后，再介绍一个计算函数导数的通用方法。对于类似 x 2 − 2 x^2-2 x2−2这样的函数，我们当然可以直接写出导函数 2 x 2x 2x。但如果函数足够复杂，不能直接写出导函数，则可以象下面这样使用微分法近似计算函数在 x = x i x=x_i x=xi处的导数。
def df(xi):
# 返回函数f(x)在xi处的导数
delta = 1e-15
return (f(xi+delta)-f(xi-delta))/(2*delta)
使用这个近似的求导函数，迭代得到的结果就会有一点误差，小数部分的前15位和上面两种方法一致。
经过15次迭代，2的算术平方根为1.414213562373095367519226783770
请按任意键继续. . .