滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)
滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。
优点
滑动模态可以设计
对扰动不敏感
缺点
硬件无法适应高频的信号切换
信号高频切换带来的输出信号震荡
系统建模
我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u \begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber \\ \dot x_2 &= u \nonumber \\ \end{align} x˙1x˙2=x2=u
我们的控制目标很明确，就是希望 x 1 = 0 , x 2 = 0 x_1 = 0,x_2=0 x1=0,x2=0
设计滑模面
s = c x 1 + x 2 s=cx_1+x_2 s=cx1+x2
这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是 x 1 = 0 , x 2 = 0 x_1 = 0,x_2=0 x1=0,x2=0，那如果 s = 0 s=0 s=0呢
{ c x 1 + x 2 = 0 x ˙ 1 = x 2 ⇒ c x 1 + x ˙ 1 = 0 ⇒ { x 1 = x 1 ( 0 ) e − c t x 2 = − c x 1 ( 0 ) e − c t \begin{equation} \begin{cases} cx_1 + x_2 = 0 \\ \dot x_1 = x_2 \\ \end{cases} \Rightarrow cx_1+\dot x_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_1(0)e^{-ct} \\ x_2 = -cx_1(0)e^{-ct} \\ \end{cases} \nonumber \end{equation} {cx1+x2=0x˙1=x2⇒cx1+x˙1=0⇒{x1=x1(0)e−ctx2=−cx1(0)e−ct
可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。 c c c 越大，速度也就越快。所以如果满足 s = c x 1 + c 2 = 0 s=cx_1+c_2=0 s=cx1+c2=0,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（ s = 0 s=0 s=0称之为滑模面)
设计趋近律
上面说，如果 s = 0 s=0 s=0 状态变量最终会趋于0，可以如何保证 s = 0 s=0 s=0 呢，这就是控制率 u u u 需要保证的内容了
s ˙ = c x ˙ 1 + x ˙ 2 = c x 2 + u \dot s = c \dot x_1 + \dot x_2 = cx_2+u s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u
趋近律就是指 s ˙ \dot s s˙ ，趋近律的一般有以下几种设计
{ s ˙ = − ε s g n ( s ) , ε > 0 s ˙ = − ε s g n ( s ) − k s , ε > 0 , k > 0 s ˙ = − k ∣ s ∣ α s g n ( s ) , 0 < α < 1 \begin {cases} \dot s = - \varepsilon sgn(s), \varepsilon > 0 \\ \dot s = - \varepsilon sgn(s)-ks, \varepsilon > 0 , k>0\\ \dot s = - k|s|^{\alpha}sgn(s), 0 < \alpha < 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧s˙=−εsgn(s),ε>0s˙=−εsgn(s)−ks,ε>0,k>0s˙=−k∣s∣αsgn(s),0<α<1
s g n ( s ) = { 1 , s > 0 − 1 , s < 0 sgn(s) = \begin{cases} 1,s>0 \\ -1,s<0 \\ \end{cases} sgn(s)={1,s>0−1,s<0
根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量 u u u 了(选取第一种控制率)。
u = − c x 2 − ε s g n ( s ) u = -cx_2-\varepsilon sgn(s) u=−cx2−εsgn(s)
我们对系统施加控制量 u u u 即可保证系统最终稳定在原点。
证明有效性
在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程 s ˙ = c x 2 + u \dot s = cx_2+u s˙=cx2+u ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是 s s s ,对于 s s s 如果存在一个连续函数 V V V 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点 s = 0 s=0 s=0 处稳定，即 lim t → ∞ V = 0 {\lim\limits_{t \to \infty}V = 0} t→∞limV=0
lim ∣ s ∣ → ∞ V = ∞ {\lim\limits_{|s| \to \infty}V = \infty} ∣s∣→∞limV=∞
V ˙ < 0 f o r s ≠ 0 \dot V < 0 \ for \ s \ne 0 V˙<0 for s=0
我们证明的方法就是令 V = 1 2 s 2 V= \frac {1} {2} s ^ 2 V=21s2 ，很明显我们满足第一个条件，我们对 V V V 进行求导，
V ˙ = s s ˙ = − s ε s g n ( s ) = − ε ∣ s ∣ < 0 \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s| < 0 V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<0
也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。
无限时间问题
上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件
V ˙ ≤ − α V 1 2 \dot V \le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} V˙≤−αV21
对于改进后的这个条件可以分离变量再积分
d V d t ≤ − α V 1 2 V − 1 2 d V ≤ − α d t ∫ 0 t V − 1 2 d V ≤ ∫ 0 t − α d t V 1 2 ( t ) − V 1 2 ( 0 ) ≤ − 1 2 α t V 1 2 ( t ) ≤ − 1 2 α t + V 1 2 ( 0 ) \begin {align} \frac {\text d V} {\text d t} &\le - \alpha V ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le - \alpha \text d t \nonumber\\ \int^{t}_{0} V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le \int^{t}_{0} - \alpha \text d t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) - V ^ {\frac {1} {2}} (0) &\le - \frac {1} {2} \alpha t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) &\le - \frac {1} {2} \alpha t + V ^ {\frac {1} {2}} (0) \nonumber \\ \end {align} dtdVV−21dV∫0tV−21dVV21(t)−V21(0)V21(t)≤−αV21≤−αdt≤∫0t−αdt≤−21αt≤−21αt+V21(0)
根据上面的等式可以看出， V V V 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为
t r ≤ 2 V 1 2 ( 0 ) α t_r \le \frac {2V^ \frac {1} {2} (0)} {\alpha} tr≤α2V21(0)
因为李雅普诺夫条件的改变，控制器 u u u 也需要作出相应改变
{ V ˙ = s s ˙ = − s ε s g n ( s ) = − ε ∣ s ∣ V = 1 2 s 2 V ˙ ≤ − α V 1 2 ⇒ V ˙ = − ε ∣ s ∣ ≤ − α s 2 ⇒ ε ≥ α 2 \begin{cases} \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = - \varepsilon|s|\\ V = \frac {1} {2} s ^ 2 \\ \dot V \le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \end{cases} \Rightarrow \dot V = - \varepsilon|s| \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \Rightarrow \varepsilon \ge \frac {\alpha} {\sqrt{2}} ⎩ ⎨ ⎧V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=21s2V˙≤−αV21⇒V˙=−ε∣s∣≤−α2 s⇒ε≥2 α
也就是给之前随意指定的 ε \varepsilon ε 增加了一个控制条件
干扰问题
上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。
加入干扰后的状态方程
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u + d \begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= u + d \nonumber\\ \end{align} x˙1x˙2=x2=u+d
这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下
s = c x 1 + x 2 s = cx_1+x_2 s=cx1+x2
我们的趋近律设计也不变
s ˙ = − ε s g n ( s ) \dot s = - \varepsilon sgn(s) s˙=−εsgn(s)
我们的控制量 u u u 也不变
u = − ε s g n ( s ) − c x 2 u = - \varepsilon sgn(s) - cx_2 u=−εsgn(s)−cx2
s ˙ = c x ˙ 1 + x ˙ 2 = c x 2 + u + d \begin{align} \dot s &= c \dot x_1 + \dot x_2 \nonumber\\ &=cx_2 + u + d \nonumber\\ \end{align} s˙=cx˙1+x˙2=cx2+u+d
分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数
V = 1 2 s 2 V ˙ = s s ˙ = s ( c x 2 + u + d ) = s ( − ε s g n ( s ) + d ) ≤ − ε ∣ s ∣ + s d ≤ − ε ∣ s ∣ + s L ≤ ∣ s ∣ ( ε − L ) \begin{align} V &= \frac {1} {2} s ^ 2 \nonumber\\ \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (cx_2 + u + d) \nonumber\\ &= s (- \varepsilon sgn(s) + d) \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sd \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sL \nonumber\\ & \le |s|(\varepsilon - L) \nonumber\\ \end{align} VV˙=21s2=ss˙=s(cx2+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)
其中 L L L 为干扰 d d d 的上界
V ˙ ≤ − α V 1 2 − ε ∣ s ∣ + s L ≤ − α s 2 − ε ∣ s ∣ ≤ − α s 2 − s L ε ∣ s ∣ ≥ α s 2 + s L ε ≥ s g n ( s ) ( α 2 + L ) ε ≥ ( α 2 + L ) \begin{align} \dot V &\le - \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| + sL & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} - sL \nonumber\\ \varepsilon|s| & \ge \alpha \frac{s}{\sqrt {2}} + sL \nonumber\\ \varepsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \varepsilon & \ge (\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \end{align} V˙−ε∣s∣+sL−ε∣s∣ε∣s∣εε≤−αV21≤−α2 s≤−α2 s−sL≥α2 s+sL≥sgn(s)(2 α+L)≥(2 α+L)
所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。
三阶系统滑膜设计方法示例
三阶系统的模型如下
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = x 3 x ˙ 3 = f ( x ) + g ( x ) u \begin {align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= x_3 \nonumber\\ \dot x_3 &= f(x) + g(x)u \nonumber\\ \end {align} x˙1x˙2x˙3=x2=x3=f(x)+g(x)u
假设，我们期望的 x 1 x_1 x1 的目标是 x 1 d x_{1d} x1d ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了
e 1 = x 1 − x 1 d e 2 = e ˙ 1 = x ˙ 1 − x ˙ 1 d = x 2 − x ˙ 1 d e 3 = e ˙ 2 = x ¨ 1 − x ¨ 1 d = x 3 − x ¨ 1 d \begin{align} e_1 &= x_1 - x_{1d} \nonumber\\ e_2 &= \dot e_1 = \dot x_1 - \dot x_{1d} = x_2 - \dot x_{1d} \nonumber\\ e_3 &= \dot e_2 = \ddot x_1 - \ddot x_{1d} = x_3 - \ddot x_{1d} \nonumber\\ \end{align} e1e2e3=x1−x1d=e˙1=x˙1−x˙1d=x2−x˙1d=e˙2=x¨1−x¨1d=x3−x¨1d
设计滑模面
s = c 1 e 1 + c 2 e 2 + e 3 s = c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3 s=c1e1+c2e2+e3
设计李雅普诺夫函数
V = 1 2 s 2 V = \frac{1}{2} s ^ 2 V=21s2
对李雅普诺夫函数进行求导
V ˙ = s s ˙ = s ( c 1 e ˙ 1 + c 2 e ˙ 2 + e ˙ 3 ) = s ( c 1 e 2 + c 2 e 3 + x 3 − x ¨ 1 d ( 3 ) ) = s ( c 1 e 2 + c 2 e 3 + x 3 − f ( x ) + g ( x ) u − x 1 d ( 3 ) ) = s ( Γ − f ( x ) + g ( x ) u − x 1 d ( 3 ) ) = s g ( x ) ( Γ − f ( x ) − x 1 d ( 3 ) g ( x ) + u ) \begin{align} \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (c_1 \dot e_1 + c_2 \dot e_2 + \dot e_3) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - \ddot x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (\Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= sg(x)(\frac {\Gamma - f(x) - x^{(3)}_{1d}} {g(x)} + u) \nonumber\\ \end{align} V˙=ss˙=s(c1e˙1+c2e˙2+e˙3)=s(c1e2+c2e3+x3−x¨1d(3))=s(c1e2+c2e3+x3−f(x)+g(x)u−x1d(3))=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3))=sg(x)(g(x)Γ−f(x)−x1d(3)+u)
这里我们设计趋近律
s ˙ = − ε s g n ( s ) = Γ − f ( x ) + g ( x ) u − x 1 d ( 3 ) \dot s = - \varepsilon sgn(s) = \Gamma - f(x) + g(x)u - x^{(3)}_{1d} s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)
得到控制量 u u u
u = − ε s g n ( s ) − Γ + f ( x ) + x 1 d ( 3 ) g ( x ) u = \frac {-\varepsilon sgn(s) - \Gamma + f(x) + x^{(3)}_{1d}} {g(x)} u=g(x)−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)
带入李雅普诺夫函数可得
V ˙ = − s ε s g n ( s ) = − ε ∣ s ∣ ≤ 0 \dot V = -s \varepsilon sgn(s) = -\varepsilon |s| \le 0 V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤0
这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制 ε \varepsilon ε 即可