第二章：AI大模型的基础知识2.2 深度学习基础2.2.2 常见的激活函数与损失函数

AI大模型的基础知识-2.2 深度学习基础-2.2.2 常见的激活函数与损失函数

作者：禅与计算机程序设计艺术

背景介绍

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近年来，深度学习（Deep Learning）技术取得了显著的进展，深度学习已被广泛应用于计算机视觉、自然语言处理、音频信号处理等领域。在深度学习中，我们需要使用激活函数（Activation Function）和损失函数（Loss Function）等数学工具。本文将详细介绍这两类函数的基础知识。

核心概念与联系

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什么是激活函数？

在深度学习中，输入层、隐藏层和输出层之间通常存在一些非线性映射关系。激活函数就是用来描述这种非线性映射关系的数学函数。通过激活函数的映射，我们可以将输入的线性特征转换为高维空间中的非线性特征，从而更好地捕捉输入数据的复杂关系。常见的激活函数包括Sigmoid函数、Tanh函数、ReLU函数等。

什么是损失函数？

在深度学习中，我们需要训练一个模型，使其能够很好地拟合输入数据。为此，我们需要定义一个损失函数（Loss Function），该函数可以用来评估模型在训练集上的拟合效果。通常情况下，我们希望使损失函数的值越小越好。常见的损失函数包括均方误差（MSE）函数、交叉熵（Cross Entropy）函数等。

激活函数与损失函数的联系

激活函数和损失函数在深度学习中起着至关重要的作用。激活函数用来描述输入数据到隐藏特征的非线性映射关系，而损失函数则用来评估模型的训练效果。在训练过程中，我们通常需要优化损失函数，从而获得一个更好的模型。因此，选择适当的激活函数和损失函数是深度学习的一个关键步骤。

核心算法原理和具体操作步骤以及数学模型公式详细讲解

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Sigmoid函数

Sigmoid函数是一种S形的函数，它的函数图像如下所示：

%\draw[help lines,color=gray!30, dashed] (-1.4,-1.2) grid (6.5,4.7);
\draw[->,thick] (-1.5,0) – (6.5,0) node[right] { x x x};
\draw[->,thick] (0,-0.5) – (0,4.5) node[above] { σ ( x ) \sigma(x) σ(x)};
\draw[domain=-1:5,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{1/(1+exp(-(\x)))}) ;
\end{tikzpicture})

Sigmoid函数的数学表达式为：

σ ( x ) = 1 1 + e − x \sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}} σ(x)=1+e−x1​

Sigmoid函数的导数为：

σ ′ ( x ) = σ ( x ) ( 1 − σ ( x ) ) \sigma^{\prime}(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x)) σ′(x)=σ(x)(1−σ(x))

Sigmoid函数的优点是 smooth 平滑，而且输出值在 $ [0,1]$ 区间内，因此它经常被用作二分类问题中的输出函数。不过，Sigmoid函数的缺点也比较明显，即当输入值很大或很小时，sigmoid函数的梯度会趋近于0，从而导致训练变慢。

Tanh函数

Tanh函数是Sigmoid函数的一种变种，它的函数图像如下所示：

%\draw[help lines,color=gray!30, dashed] (-1.4,-1.2) grid (6.5,4.7);
\draw[->,thick] (-1.5,0) – (6.5,0) node[right] { x x x};
\draw[->,thick] (0,-1.2) – (0,1.2) node[above] { tanh ⁡ ( x ) \tanh(x) tanh(x)};
\draw[domain=-1:5,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{(exp(\x)-exp(-\x))/(exp(\x)+exp(-\x))});
\end{tikzpicture})

Tanh函数的数学表达式为：

tanh ⁡ ( x ) = e x − e − x e x + e − x \tanh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} tanh(x)=ex+e−xex−e−x​

Tanh函数的导数为：

tanh ⁡ ′ ( x ) = 1 − tanh ⁡ 2 ( x ) \tanh^{\prime}(x)=1-\tanh^2(x) tanh′(x)=1−tanh2(x)

Tanh函数的优点是它的输出值在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1] 区间内，因此它经常被用作隐藏层的激活函数。不过，Tanh函数的缺点也是比较明显的，即当输入值很大或很小时，tanh函数的梯度会趋近于0，从而导致训练变慢。

ReLU函数

ReLU函数（Rectified Linear Unit）是目前最流行的激活函数之一，它的函数图像如下所示：

%\draw[help lines,color=gray!30, dashed] (-1.4,-1.2) grid (6.5,4.7);
\draw[->,thick] (-1.5,0) – (6.5,0) node[right] { x x x};
\draw[->,thick] (0,-0.5) – (0,4.5) node[above] { max ⁡ ( 0 , x ) \max(0,x) max(0,x)};
\draw[domain=0:5,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{max(\x,0)});
\end{tikzpicture})

ReLU函数的数学表达式为：

f ( x ) = max ⁡ ( 0 , x ) f(x)=\max(0,x) f(x)=max(0,x)

ReLU函数的导数为：

f ′ ( x ) = { 0 x < 0   1 x ≥ 0 f^{\prime}(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \ 1 & x\geq0 \end{cases} f′(x)={0​x<0 1​x≥0​

ReLU函数的优点是它的计算量小，并且可以有效地缓解梯度消失问题。不过，ReLU函数的缺点也是比较明显的，即当输入值为负数时，ReLU函数的输出为0，这可能导致神经元死亡。为了克服这个问题，人们提出了Leaky ReLU和PReLU等变种函数。

MSE函数

MSE函数（Mean Square Error）是一种常见的损失函数，它的数学表达式为：

L M S E = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 L_{MSE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2} LMSE​=n1​i=1∑n​(yi​−y^​i​)2

其中， n n n 是样本数， y i y_{i} yi​ 是真实值， y ^ i \hat{y}_{i} y^​i​ 是预测值。MSE函数的优点是它简单易于理解，并且对异常值比较鲁棒。不过，MSE函数的缺点也是比较明显的，即它对输出的绝对误差非常敏感。

Cross Entropy函数

Cross Entropy函数是另一种常见的损失函数，它的数学表达式为：

L C E = − 1 n ∑ i = 1 n [ y i log ⁡ y ^ i + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − y ^ i ) ] L_{CE}=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[y_{i}\log\hat{y}_{i}+(1-y_{i})\log(1-\hat{y}_{i})] LCE​=−n1​i=1∑n​[yi​logy^​i​+(1−yi​)log(1−y^​i​)]

其中， n n n 是样本数， y i y_{i} yi​ 是真实值， y ^ i \hat{y}_{i} y^​i​ 是预测值。Cross Entropy函数的优点是它对输出的相对误差比较敏感，并且在二分类问题中比MSE函数更加合适。不过，Cross Entropy函数的缺点也是比较明显的，即它对异常值比较敏感。

具体最佳实践：代码实例和详细解释说明

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Sigmoid函数的Python实现

import numpy as npdef sigmoid(x):   """   sigmoid函数的Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   return 1 / (1 + np.exp(-x))def sigmoid_derivative(x):   """   sigmoid函数的导数Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   s = sigmoid(x)   return s * (1 - s)

Tanh函数的Python实现

import numpy as npdef tanh(x):   """   tanh函数的Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   exp_x = np.exp(x)   exp_minus_x = np.exp(-x)   return (exp_x - exp_minus_x) / (exp_x + exp_minus_x)def tanh_derivative(x):   """   tanh函数的导数Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   t = tanh(x)   return 1 - t**2

ReLU函数的Python实现

import numpy as npdef relu(x):   """   ReLU函数的Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   return np.maximum(0, x)def relu_derivative(x):   """   ReLU函数的导数Python实现   :param x: 输入向量   :return: 输出向量   """   mask = x > 0   return mask * 1

MSE函数的Python实现

import numpy as npdef mse(y, y_pred):   """   MSE函数的Python实现   :param y: 真实值   :param y_pred: 预测值   :return: MSE值   """   return ((y - y_pred)**2).mean()

Cross Entropy函数的Python实现

import numpy as npdef cross_entropy(y, y_pred):   """   Cross Entropy函数的Python实现   :param y: 真实值   :param y_pred: 预测值   :return: Cross Entropy值   """   n = y.shape[0]   ce = -(np.sum(y * np.log(y_pred)) + np.sum((1-y) * np.log(1-y_pred))) / n   return ce

实际应用场景

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激活函数和损失函数在深度学习中被广泛应用于计算机视觉、自然语言处理等领域。以下是几个常见的应用场景：

图像分类

在图像分类任务中，我们需要训练一个模型，使其能够识别输入图像所属的类别。为此，我们可以使用CNN（Convolutional Neural Network）模型，该模型通常包含多个卷积层、池化层和全连接层。在这种情况下，ReLU函数通常被用作隐藏层的激活函数，而Softmax函数则被用作输出层的激活函数。在训练过程中，我们可以使用交叉熵函数（Cross Entropy Loss）作为损失函数，从而获得一个更好的模型。

文本翻译

在文本翻译任务中，我们需要训练一个模型，使其能够将输入的英文文本翻译成目标语言的文本。为此，我们可以使用Seq2Seq模型，该模型通常包含一个编码器和一个解码器。在这种情况下，Tanh函数通常被用作隐藏层的激活函数，而Softmax函数则被用作输出层的激活函数。在训练过程中，我们可以使用交叉熵函数（Cross Entropy Loss）作为损失函数，从而获得一个更好的模型。

音频信号处理

在音频信号处理任务中，我们需要训练一个模型，使其能够对输入的音频信号进行处理。为此，我们可以使用RNN（Recurrent Neural Network）模型，该模型通常包含多个隐藏层。在这种情况下，Sigmoid函数或Tanh函数通常被用作隐藏层的激活函数。在训练过程中，我们可以使用均方误差函数（MSE Loss）作为损失函数，从而获得一个更好的模型。

工具和资源推荐

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如果你想开始学习深度学习，以下是一些推荐的工具和资源：

TensorFlow

TensorFlow是Google开发的一个开源机器学习库，它支持多种平台，并且提供了丰富的API和工具。TensorFlow支持多种激活函数和损失函数，并且可以用于图像分类、文本分析等各种应用场景。

Keras

Keras是一个高级的 neural networks API，可以在 Python 中运行。由于 Keras 易于使用，并且提供了简单而强大的功能，它已经成为了许多初学者的首选工具。Keras 支持 TensorFlow 等多种后端框架，并且提供了丰富的 API 和工具。

PyTorch

PyTorch是 Facebook 开发的一个开源机器学习库，它支持动态计算图，并且与 NumPy 兼容。PyTorch 支持多种激活函数和损失函数，并且可以用于图像分类、文本分析等各种应用场景。

在线课程

如果你想系统地学习深度学习，以下是一些推荐的在线课程：

Coursera：Coursera 提供了大量关于深度学习的在线课程，包括 Andrew Ng 教授的“Machine Learning”课程、Stanford 大学的“Convolutional Neural Networks for Visual Recognition”课程等。edX：edX 提供了大量关于深度学习的在线课程，包括 MIT 的“Deep Learning for Self-Driving Cars”课程、Microsoft 的“Introduction to Deep Learning and Neural Networks”课程等。

总结：未来发展趋势与挑战

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随着深度学习技术的不断发展，我们预计未来会看到更加先进的激活函数和损失函数。例如，人们正在研究如何设计更好的激活函数，例如 Maxout 函数和 Swish 函数等。此外，人们还在研究如何设计更加鲁棒的损失函数，例如 Huber 损失函数和 Quantile Regression 损失函数等。

然而，深度学习技术也面临着许多挑战，例如缺乏 interpretability、数据 hungry、training time 长等问题。因此，未来的研究还需要解决这些问题，从而使深度学习技术更加普适、可靠和易于使用。