这是机器未来的第43篇文章
原文首发地址：https://blog.csdn.net/RobotFutures/article/details/126493989
文章目录
1. 概述2. 四则运算2.1 加法2.2 减法2.3 乘法2.4 除法 3. 矩阵运算3.1 np.dot函数3.2 np.matmul函数3.3 @运算符3.4 转换为矩阵，再运算 4. numpy的广播机制4.1 举例14.2 举例24.3 举例34.4 举例44.5 举例5 5. 总结
1. 概述
本文总结了numpy常见的运算，四则运算与矩阵运算，以及它们的区别。同时描述了在形状不满足要求时，在特定情况下仍然可以运算的广播机制。
2. 四则运算
四则运算即是小学时学过的+、-、*、/，在numpy中ndarray数组对象怎么进行四则运算呢？
四则运算都是对位运算，数学公式如下：
# 生成2个3*3数组import numpy as npa = np.random.randint(low=1,high=100,size=(3,3))b = np.random.randint(low=1,high=100,size=(3,3))print(f"a:\n{a}, type:{type(a)}")print(f"b:\n{b}")a:[[84 16 27] [39 33 87] [82 16 37]], type:<class 'numpy.ndarray'>b:[[68 33 96] [92 43 69] [14 4 88]]2.1 加法
s u m = ∑ i , j M , N ( a i j + b i j ) sum = \sum_{i, j}^{M,N}(a_{ij}+b_{ij}) sum=i,j∑M,N(aij+bij)
# 加法sum = a + bprint(f"sum:\n{sum}")sum:[[128 154 172] [ 79 133 16] [ 96 39 115]]2.2 减法
d i f f = ∑ i , j M , N ( a i j − b i j ) diff = \sum_{i, j}^{M,N}(a_{ij}-b_{ij}) diff=i,j∑M,N(aij−bij)
# 减法diff = a - bprint(f"diff:\n{diff}")diff:[[-30 2 -26] [ 13 1 -6] [-18 -3 21]]2.3 乘法
p r o d u c t = ∑ i , j M , N ( a i j ∗ b i j ) product = \sum_{i, j}^{M,N}(a_{ij}*b_{ij}) product=i,j∑M,N(aij∗bij)
# 乘法product = a * bprint(f"product:\n{product}")product:[[3871 5928 7227] [1518 4422 55] [2223 378 3196]]2.4 除法
q u o t i e n t = ∑ i , j M , N ( a i j / b i j ) quotient = \sum_{i, j}^{M,N}(a_{ij}/b_{ij}) quotient=i,j∑M,N(aij/bij)
# 除法quotient = a / bprint(f"quotient:\n{quotient}")quotient:[[0.62025316 1.02631579 0.73737374] [1.39393939 1.01515152 0.45454545] [0.68421053 0.85714286 1.44680851]]3. 矩阵运算
上面描述了ndarray数组对象的四则运算，如何利用numpy进行矩阵运算呢？
矩阵运算基本运算为加、减、乘法及数乘。
矩阵的加法、减法运算和数组的加法、减法运算一样，都是对位运算，数乘运算也比较简单，就是每个元素都乘以数，但是矩阵乘法和数组的乘法差距较大。
假设有两个矩阵, MxN矩阵A和NxS矩阵B, 两个矩阵矩阵相乘后结果为MxS矩阵。
矩阵A的列和矩阵B的行必须相等，才可以进行矩阵运算。
假设矩阵A为4*3的矩阵，矩阵B为3*2的矩阵
矩阵A：
[ a 0 , 0 a 0 , 1 a 0 , 2 a 1 , 0 a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 0 a 2 , 1 a 2 , 2 a 3 , 0 a 3 , 1 a 3 , 2 ] \begin{bmatrix} a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\ a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} \end{bmatrix} ⎣ ⎡a0,0a1,0a2,0a3,0a0,1a1,1a2,1a3,1a0,2a1,2a2,2a3,2⎦ ⎤
矩阵B：
[ b 0 , 0 b 0 , 1 b 1 , 0 b 1 , 1 b 2 , 0 b 2 , 1 ] \begin{bmatrix} b_{0,0} & b_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{1,1} \\ b_{2,0} & b_{2,1} \\ \end{bmatrix} ⎣ ⎡b0,0b1,0b2,0b0,1b1,1b2,1⎦ ⎤
矩阵A乘以矩阵B的结果4*2的矩阵：
[ a 0 , 0 ∗ b 0 , 0 + a 0 , 1 ∗ b 1 , 0 + a 0 , 2 ∗ b 2 , 0 a 0 , 0 ∗ b 0 , 1 + a 0 , 1 ∗ b 1 , 1 + a 0 , 2 ∗ b 2 , 1 a 1 , 0 ∗ b 0 , 0 + a 1 , 1 ∗ b 1 , 0 + a 1 , 2 ∗ b 2 , 0 a 1 , 0 ∗ b 0 , 1 + a 1 , 1 ∗ b 1 , 1 + a 1 , 2 ∗ b 2 , 1 a 2 , 0 ∗ b 0 , 0 + a 2 , 1 ∗ b 1 , 0 + a 2 , 2 ∗ b 2 , 0 a 2 , 0 ∗ b 0 , 1 + a 2 , 1 ∗ b 1 , 1 + a 2 , 2 ∗ b 2 , 1 a 3 , 0 ∗ b 0 , 0 + a 3 , 1 ∗ b 1 , 0 + a 3 , 2 ∗ b 2 , 0 a 3 , 0 ∗ b 0 , 1 + a 3 , 1 ∗ b 1 , 1 + a 3 , 2 ∗ b 2 , 1 ] \begin{bmatrix} a_{0,0}*b_{0,0}+a_{0,1}*b_{1,0}+a_{0,2}*b_{2,0} & a_{0,0}*b_{0, 1}+a_{0,1}*b_{1,1}+ a_{0,2} *b_{2,1}\\ a_{1,0}*b_{0,0}+a_{1,1}*b_{1,0}+a_{1,2}*b_{2,0} & a_{1,0}*b_{0, 1}+a_{1,1}*b_{1,1}+ a_{1,2} *b_{2,1}\\ a_{2,0}*b_{0,0}+a_{2,1}*b_{1,0}+a_{2,2}*b_{2,0} & a_{2,0}*b_{0, 1}+a_{2,1}*b_{1,1}+ a_{2,2} *b_{2,1}\\ a_{3,0}*b_{0,0}+a_{3,1}*b_{1,0}+a_{3,2}*b_{2,0} & a_{3,0}*b_{0, 1}+a_{3,1}*b_{1,1}+ a_{3,2} *b_{2,1}\\ \end{bmatrix} ⎣ ⎡a0,0∗b0,0+a0,1∗b1,0+a0,2∗b2,0a1,0∗b0,0+a1,1∗b1,0+a1,2∗b2,0a2,0∗b0,0+a2,1∗b1,0+a2,2∗b2,0a3,0∗b0,0+a3,1∗b1,0+a3,2∗b2,0a0,0∗b0,1+a0,1∗b1,1+a0,2∗b2,1a1,0∗b0,1+a1,1∗b1,1+a1,2∗b2,1a2,0∗b0,1+a2,1∗b1,1+a2,2∗b2,1a3,0∗b0,1+a3,1∗b1,1+a3,2∗b2,1⎦ ⎤
矩阵相乘的计算过程为：
矩阵A和第k行和矩阵B的第k列相乘，矩阵A的第k行第i列的元素乘以矩阵B第j列第i行的元素，然后它们的乘积再想加就是结果的第ij元素。
C i , j = a i , 0 ∗ b 0 , j + a i , 1 ∗ b 1 , j + . . . + a i , n ∗ b n , j = ∑ k = 0 n a i k b k j C_{i,j} = a_{i,0}*b_{0,j}+a_{i,1}*b_{1,j}+...+a_{i,n}*b_{n,j} = \sum_{k=0}^{n}a_{ik}b_{kj} Ci,j=ai,0∗b0,j+ai,1∗b1,j+...+ai,n∗bn,j=k=0∑naikbkj
矩阵乘法也叫求矩阵的内积，是深度学习神经网络最底层的数学基础。
numpy中计算矩阵乘法的方式有4种：
3.1 np.dot函数
arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")matrix_c = np.dot(arr_a, arr_b)print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")arr_a:(4, 3),<class 'numpy.ndarray'>[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] [1 2 3]]arr_b:(3, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[1 1] [2 2] [3 3]]matrix_c:(4, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[14 14] [32 32] [50 50] [14 14]]3.2 np.matmul函数
从numpy1.10.0开始支持。
arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")matrix_c = np.matmul(arr_a, arr_b)print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")arr_a:(4, 3),<class 'numpy.ndarray'>[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] [1 2 3]]arr_b:(3, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[1 1] [2 2] [3 3]]matrix_c:(4, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[14 14] [32 32] [50 50] [14 14]]3.3 @运算符
arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")matrix_c = arr_a @ arr_bprint(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")arr_a:(4, 3),<class 'numpy.ndarray'>[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] [1 2 3]]arr_b:(3, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[1 1] [2 2] [3 3]]matrix_c:(4, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[14 14] [32 32] [50 50] [14 14]]3.4 转换为矩阵，再运算
利用np.asmatrix方法
arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")# np.matrix方法已不推荐使用，将来会移除，asmatrix不会拷贝副本matrix_c = np.asmatrix(arr_a) * np.asmatrix(arr_b)print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")arr_a:(4, 3),<class 'numpy.ndarray'>[[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9] [1 2 3]]arr_b:(3, 2),<class 'numpy.ndarray'>[[1 1] [2 2] [3 3]]matrix_c:(4, 2),<class 'numpy.matrix'>[[14 14] [32 32] [50 50] [14 14]]4. numpy的广播机制
Numpy的四则运算在计算时必须满足形状一致，而Numpy的广播机制在满足广播条件约束的情况，可以将不同形状的数组扩展成统一的形状，然后再进行运算。
一般广播规则
当对两个数组进行操作时，NumPy 会逐元素比较它们的形状。 它从尾随（即最右边）维度开始，从右向左比较，
(1)维度不相等，两个数组的右侧轴元素个数相符
(2)维度相等，且其中之一的轴的元素个数为1，且其它轴的元素个数相等
(3)维度不相等，两个数组的右侧元素个数不相符，且一侧元素个数为1，则按照两侧元素个数多的为标准进行广播
则满足广播机制。
4.1 举例1
数组a,其形状为4*3，数组b，其形状为3,从尾部开始比较，数组a的形状4*3包含数组b的形状3，因此满足广播机制。
import numpy as npa = np.array([[ 0.0, 0.0, 0.0], [10.0, 10.0, 10.0], [20.0, 20.0, 20.0], [30.0, 30.0, 30.0]])b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])c = a + bprint(a.shape, b.shape, c.shape)print(c)(4, 3) (3,) (4, 3)[[ 1. 2. 3.] [11. 12. 13.] [21. 22. 23.] [31. 32. 33.]]
4.2 举例2
数组a,其形状为3*4*2，数组b，其形状为4*2,从尾部开始比较，数组a的形状3*4*2包含数组b的形状4*2，因此满足广播机制。
a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(3, 4, 2))b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(4,2))c = a + bprint(a.shape, b.shape, c.shape)print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")(3, 4, 2) (4, 2) (3, 4, 2)a:[[[6 0] [2 3] [7 6] [9 7]] [[3 1] [0 5] [6 0] [1 9]] [[7 2] [0 3] [2 3] [0 6]]]b:[[7 3] [0 5] [6 7] [1 7]]c:[[[13 3] [ 2 8] [13 13] [10 14]] [[10 4] [ 0 10] [12 7] [ 2 16]] [[14 5] [ 0 8] [ 8 10] [ 1 13]]]
4.3 举例3
数组a形状为4*3,数组b形状为4*1，数组维度相同，有2个维度，其中一个维度元素个数为1，另外一个维度元素个数相等，满足广播机制
import numpy as npa = np.array([[0, 0, 0],[1, 1, 1],[2, 2, 2], [3, 3, 3]]) #arr1.shape = (4,3)b = np.array([[1],[2],[3],[4]]) #arr2.shape = (4, 1)c = a + bprint(c)[[1 1 1] [3 3 3] [5 5 5] [7 7 7]]
4.4 举例4
数组a形状为(5, 4, 3),数组b形状为(5, 1, 3)，数组维度相同，有3个维度，其中一个维度元素个数为1，另外2个维度元素个数相等，满足广播机制
a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(5, 4, 3))b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(5, 1, 3))c = a + bprint(a.shape, b.shape, c.shape)print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")(5, 4, 3) (5, 1, 3) (5, 4, 3)a:[[[7 4 5] [9 9 1] [7 6 8] [9 5 7]] [[3 0 0] [1 2 4] [0 1 8] [5 2 6]] [[9 5 0] [5 8 5] [7 1 8] [9 2 9]] [[7 9 0] [4 5 3] [7 2 7] [0 8 9]] [[2 4 2] [2 3 1] [8 3 5] [5 7 4]]]b:[[[2 5 2]] [[4 3 3]] [[5 3 0]] [[0 6 6]] [[3 6 8]]]c:[[[ 9 9 7] [11 14 3] [ 9 11 10] [11 10 9]] [[ 7 3 3] [ 5 5 7] [ 4 4 11] [ 9 5 9]] [[14 8 0] [10 11 5] [12 4 8] [14 5 9]] [[ 7 15 6] [ 4 11 9] [ 7 8 13] [ 0 14 15]] [[ 5 10 10] [ 5 9 9] [11 9 13] [ 8 13 12]]]4.5 举例5
数组a的形状为(3, 1, 2)，数组b的形状为(4, 1)，从右侧向左比较，数组a和数组b的维度不相等，右侧元素个数也不相等，但是两侧都有出现轴的元素个数为1的情况，则轴元素个数为1的维度根据两者的较大值进行广播。
从右向左比较，数据b首先在第2维上广播为(4, 2)，然后数组a在第1维广播为(3, 4, 2)，数组b在第0维广播为(3, 4, 2)
a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(3, 1, 2))b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(4, 1))c = a + bprint(a.shape, b.shape, c.shape)print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")(3, 1, 2) (4, 1) (3, 4, 2)a:[[[7 1]] [[8 5]] [[4 8]]]b:[[2] [0] [7] [0]]c:[[[ 9 3] [ 7 1] [14 8] [ 7 1]] [[10 7] [ 8 5] [15 12] [ 8 5]] [[ 6 10] [ 4 8] [11 15] [ 4 8]]]以上就是numpy的四则运算、矩阵运算以及广播机制的作用机制了。
5. 总结
数组的四则运算∑ i , j M , N ( a i j + ∣ − ∣ ∗ ∣ / b i j ) \sum_{i, j}^{M,N}(a_{ij} + | - | * | / b_{ij}) i,j∑M,N(aij+∣−∣∗∣/bij)
矩阵相乘C i , j = a i , 0 ∗ b 0 , j + a i , 1 ∗ b 1 , j + . . . + a i , n ∗ b n , j = ∑ k = 0 n a i k b k j C_{i,j} = a_{i,0}*b_{0,j}+a_{i,1}*b_{1,j}+...+a_{i,n}*b_{n,j} = \sum_{k=0}^{n}a_{ik}b_{kj} Ci,j=ai,0∗b0,j+ai,1∗b1,j+...+ai,n∗bn,j=k=0∑naikbkj
广播机制的三种场景
维度不相等，两个数组的右侧轴元素个数相符
维度相等，且其中之一的轴的元素个数为1，且其它轴的元素个数相等
维度不相等，两个数组的右侧元素个数不相符，且一侧元素个数为1，则按照两侧元素个数多的为标准进行广播
则满足广播机制。
写在末尾：
博客简介：专注AIoT领域，追逐未来时代的脉搏，记录路途中的技术成长！专栏简介：从0到1掌握数据科学常用库Numpy、Matploblib、Pandas。面向人群：AI初级学习者专栏计划：接下来会逐步发布跨入人工智能的系列博文，敬请期待 Python零基础快速入门系列Python数据科学系列人工智能开发环境搭建系列机器学习系列物体检测快速入门系列自动驾驶物体检测系列…