2021华中杯数学建模赛题思路(更新)_微信公众号：您好啊数模君的博客

A 题 马赛克瓷砖选色问题

 

选近似颜色的瓷砖，可以直接用距离公式搞定，matlab中用距离pdist2函数解决，edit pdist2后可以看到有很多种距离公式算法

 

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很多小朋友到这里就完事了，其实不然，举个例子，三个颜色矩阵[0.6,0.6,0.6]、[0.5,0.5,0.5]、[0.5,0.6732,0.5]，其中1和3和2欧式距离都相差0.1732距离，依次可视化颜色矩阵后

 

 

可以看出我们还应考虑的是 RGB 差值的方差，例如[0.6,0.6,0.6]与[0.5,0.5,0.5]做差后差 值一样，其方差为 0；[0.5,0.5,0.5]与[0.5,0.6732,0.5]做差后得到[0,1.732,0]，其方差为 1；两 个公式后者作为优先排序条件，前者距离公式作为次要排序条件为宜。（方差为0说明为同种颜色，再次前提下欧式距离越大明暗差别越大），本段描述下面绘制程序。

 

figure % 0-1对应的为0-255

p=plot(1,1,'o','LineWidth',100);%方差为0

set(p,'color',[0.6 0.6 0.6]);

hold on

p=plot(2,1,'o','LineWidth',100);%标准点用于对比

set(p,'color',[0.5 0.5 0.5]);

p=plot(3,1,'o','LineWidth',100);

set(p,'color',[0.5 0.6732 0.5]);%方差不为0，欧氏距离与第一个点一致

axis([0,4,0,2])

 

然而在第一问中，附件2和附件3中如果按上述排序方式选择近似颜色，就会发现，欧式距离过大，但是方差很小，颜色深浅差距很大，因此我们可以设置权重以平衡这两个公式。同样的我们可视化看下。

 

 

figure% 0-1 对应的为0-255

p=plot(1,1,'o','LineWidth',100);%方差为0

set(p,'color',[0.6 0.6 0.6]);

hold on

p=plot(2,1,'o','LineWidth',100);%标准点用于对比

set(p,'color',[0.5 0.5 0.5]);

p=plot(3,1,'o','LineWidth',100);

set(p,'color',[0.5 0.54 0.5]);%方差不为0，欧氏距离与第一个点一致

axis([0,4,0,2])

 

从效果来看还可以接受，两个结果的欧式距离分别是0.1732和0.05，因此我们可以将差的方差和欧式距离公式权重比例设为0.776:0.224，我们新构建的距离公式应当为

 

 

权重可以根据各自认为的颜色近似自行设置，这里只是给了一个案例

 

对于第二问，这个表现力就是说能够近似体现多种颜色，优先增加与多个颜色差别较小，不管增加几种颜色，但本质上还是选近似颜色，只不过同时多增加几种颜色就要考虑新聚类中心的分布问题，FCM思想比较适合解决该问题，目标函数可以就以FCM的来

 

 

 

其中i表示聚类中心，j表示其他点，c为聚类中心总数，N为其他点总数，（别去管什么隶属度矩阵，你们直接用上面函数就行，除了FCM也可以借助其他聚类算法的思想来做）

 

该算法思想就是其他点到聚类中心的距离的倒数之和最小，但是别直接套用该算法程序，其中的距离公式需要更改。第二问说是从技术革新的角度，那么本问被聚类的点应当为256*256*256个点了，并不是附件2和附件3的点来做聚类分析，当然在选出新聚类中心颜色后，可以再去算一附件2和附件3的J函数值，对于题目提到的表现力，颜色越近似就说明表现力越好，表现力函数公式可以直接是J函数的倒数。

 

本文的程序设计思路可以做个参考：

1.两个自变量，除了固定的22个颜色外额外增加的颜色数、聚类范围(切记不是半径为R的圆形)

2.(优化算法)随机产生n个个体，每个个体拥有m个新聚类中心(m个RGB值，看做是三维坐标)和1个聚类范围，被聚类的点就是256*256*256个点，按第一问距离公式计算各聚类中心距离。

3.设立目标函数J，如果想将表现力设为目标函数，这里目标函数就设为1/J。（第一问两个公式加权聚合为一个公式，权重自行设立，效果不好就调试下)，求J函数最小化或者1/J函数最大化。

4.迭代多次后，输出新增最佳m个颜色RGB。

 

第三问，在上一问基础上考虑成本，成本函数就按新增了多少个颜色来算，相当于说本问寻优的自变量个数m是变化的，可以在上述步骤增加一个目标函数M，即新增m个颜色。本问即是多目标寻优问题。可以去看下之前我发的推文(推文路径：算法-优化算法-智能优化算法函数寻优补充篇)，专门举了自变量个数变化的寻优案例程序，以及多目标常用排序方法(推文路径：算法-优化算法-非支配排序-Ⅱ)，就自己去